3. На рисунке АВ = 4, BE = 6, DE = 5, прямая АВ перпендикулярна прямой BD, CD перпендикулярна BD и ЕА перпендикулярна ЕС. Найдите CD.

Рассмотрим рисунок к задаче 3.

Прямая АВ перпендикулярна прямой BD, следовательно, углы ABE и EBD прямые и равны 90°. Аналогично, CD перпендикулярна BD, следовательно, угол CDE прямой и равен 90°. Также ЕА перпендикулярна ЕС, следовательно, угол АЕC прямой и равен 90°.

Рассмотрим треугольник ABE: угол ABE = 90°, AB = 4, BE = 6. Треугольник ABE прямоугольный.

Рассмотрим треугольник CDE: угол CDE = 90°, DE = 5. Треугольник CDE прямоугольный.

Треугольники ABE и EDC подобны по двум углам (углы ABE и CDE прямые, углы BEA и DEC равны как вертикальные). Запишем отношение сторон:

$$ \frac{{AB}}{{DE}} = \frac{{BE}}{{CD}} $$

Подставим известные значения:

$$ \frac{4}{5} = \frac{6}{{CD}} $$

Выразим CD:

$$ CD = \frac{{6 \cdot 5}}{4} = \frac{{30}}{4} = 7.5 $$

Ответ: 7.5