ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА B-1 Решить неравенство: a) log 2 x ≤-1 6) lg (1-x) ≥ 2 в) log, (x-5) > -2

Ответ: a) x ∈ (0; 0.5]; б) x ∈ (-∞; 0.99]; в) x ∈ (5.04; +∞)

Решение:

a) \( \log_2 x \le -1 \)

ОДЗ: \( x > 0 \)

\( \log_2 x \le \log_2 2^{-1} \)

\( \log_2 x \le \log_2 \frac{1}{2} \)

Т.к. основание 2 > 1, функция возрастает, следовательно, знак неравенства не меняется:

\( x \le \frac{1}{2} \)

Учитывая ОДЗ, получаем: \( 0 < x \le \frac{1}{2} \)

Ответ: \( x \in (0; 0.5] \)

б) \( \lg (1-x) \ge 2 \)

ОДЗ: \( 1 - x > 0 \Rightarrow x < 1 \)

\( \lg (1-x) \ge \lg 10^2 \)

\( \lg (1-x) \ge \lg 100 \)

Т.к. основание 10 > 1, функция возрастает, следовательно, знак неравенства не меняется:

\( 1 - x \ge 100 \)

\( -x \ge 99 \)

\( x \le -99 \)

Учитывая ОДЗ, получаем: \( x \le -99 \)

Ответ: \( x \in (-\infty; -99] \)

в) \( \log_5 (x-5) > -2 \)

ОДЗ: \( x - 5 > 0 \Rightarrow x > 5 \)

\( \log_5 (x-5) > \log_5 5^{-2} \)

\( \log_5 (x-5) > \log_5 \frac{1}{25} \)

Т.к. основание 5 > 1, функция возрастает, следовательно, знак неравенства не меняется:

\( x - 5 > \frac{1}{25} \)

\( x > 5 + \frac{1}{25} \)

\( x > 5.04 \)

Учитывая ОДЗ, получаем: \( x > 5.04 \)

Ответ: \( x \in (5.04; +\infty) \)

Ответ: a) x ∈ (0; 0.5]; б) x ∈ (-∞; 0.99]; в) x ∈ (5.04; +∞)