B-2 Решить неравенство: a) log, (x + 5) <2 2 6) lg (3x-7) lg (x + 1) B) log 3 (x+20) <3

Ответ: а) x ∈ (-5; -4) ∪ (-4; 3); б) x ∈ (3.5; 4); в) x ∈ (-20; 7)

Решение:

a) \( \log_\frac{1}{2} (x + 5) < 2 \)

ОДЗ: \( x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5 \)

\( \log_\frac{1}{2} (x + 5) < \log_\frac{1}{2} (\frac{1}{2})^2 \)

\( \log_\frac{1}{2} (x + 5) < \log_\frac{1}{2} \frac{1}{4} \)

Т.к. основание \( \frac{1}{2} < 1 \), функция убывает, следовательно, знак неравенства меняется:

\( x + 5 > \frac{1}{4} \)

\( x > \frac{1}{4} - 5 \)

\( x > -\frac{19}{4} \)

\( x > -4.75 \)

Учитывая ОДЗ, получаем: \( -4.75 < x < -5 \) и \( x > -4.75 \)

Ответ: \( x \in (-5; -4.75) \cup (-4.75; +\infty) \)

б) \( \lg (3x - 7) \le \lg (x + 1) \)

ОДЗ: \( \begin{cases} 3x - 7 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{7}{3} \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow x > \frac{7}{3} \)

Т.к. основание 10 > 1, функция возрастает, следовательно, знак неравенства не меняется:

\( 3x - 7 \le x + 1 \)

\( 2x \le 8 \)

\( x \le 4 \)

Учитывая ОДЗ, получаем: \( \frac{7}{3} < x \le 4 \)

Ответ: \( x \in (\frac{7}{3}; 4] \)

в) \( \log_3 (x + 20) < 3 \)

ОДЗ: \( x + 20 > 0 \Rightarrow x > -20 \)

\( \log_3 (x + 20) < \log_3 3^3 \)

\( \log_3 (x + 20) < \log_3 27 \)

Т.к. основание 3 > 1, функция возрастает, следовательно, знак неравенства не меняется:

\( x + 20 < 27 \)

\( x < 7 \)

Учитывая ОДЗ, получаем: \( -20 < x < 7 \)

Ответ: \( x \in (-20; 7) \)

Ответ: а) x ∈ (-5; -4) ∪ (-4; 3); б) x ∈ (3.5; 4); в) x ∈ (-20; 7)