B-5 Решить неравенство: a) log, (x + 5) > -2 2 6) log2(x²-x-12) <3 B) lg (3x-7) ≤ lg (x + 1)

Ответ: а) x ∈ (-4.75; +∞); б) x ∈ (-4; -3) ∪ (4; 5); в) x ∈ (3.5; 4]

Решение:

B-5

a) \( \log_\frac{1}{2} (x + 5) > -2 \)

ОДЗ: \( x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5 \)

\( \log_\frac{1}{2} (x + 5) > \log_\frac{1}{2} (\frac{1}{2})^{-2} \)

\( \log_\frac{1}{2} (x + 5) > \log_\frac{1}{2} 4 \)

Т.к. основание \( \frac{1}{2} < 1 \), функция убывает, следовательно, знак неравенства меняется:

\( x + 5 < 4 \)

\( x < -1 \)

Учитывая ОДЗ, получаем: \( -5 < x < -1 \)

Ответ: \( x \in (-5; -1) \)

б) \( \log_2 (x^2 - x - 12) < 3 \)

ОДЗ: \( x^2 - x - 12 > 0 \)

\( x^2 - x - 12 = 0 \)

\( D = 1 + 48 = 49 \)

\( x_1 = \frac{1 - 7}{2} = -3, x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4 \)

\( x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty) \)

\( \log_2 (x^2 - x - 12) < \log_2 2^3 \)

\( \log_2 (x^2 - x - 12) < \log_2 8 \)

Т.к. основание 2 > 1, функция возрастает, следовательно, знак неравенства не меняется:

\( x^2 - x - 12 < 8 \)

\( x^2 - x - 20 < 0 \)

\( x^2 - x - 20 = 0 \)

\( D = 1 + 80 = 81 \)

\( x_1 = \frac{1 - 9}{2} = -4, x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5 \)

\( x \in (-4; 5) \)

Учитывая ОДЗ, получаем: \( x \in (-4; -3) \cup (4; 5) \)

Ответ: \( x \in (-4; -3) \cup (4; 5) \)

в) \( \lg (3x - 7) \le \lg (x + 1) \)

ОДЗ: \( \begin{cases} 3x - 7 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{7}{3} \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow x > \frac{7}{3} \)

Т.к. основание 10 > 1, функция возрастает, следовательно, знак неравенства не меняется:

\( 3x - 7 \le x + 1 \)

\( 2x \le 8 \)

\( x \le 4 \)

Учитывая ОДЗ, получаем: \( \frac{7}{3} < x \le 4 \)

Ответ: \( x \in (\frac{7}{3}; 4] \)

Ответ: а) x ∈ (-4.75; +∞); б) x ∈ (-4; -3) ∪ (4; 5); в) x ∈ (3.5; 4]