B-6 Решить неравенство: a) log 5 (x²-4x) > log 5 (3 - 2x) 6) lg (3x-7) ≤ lg (x + 1) в) log, (x + 5)> -2 2

Ответ: a) x ∈ (-1; 1) ∪ (3; 4); б) x ∈ (\(\frac{7}{3}\); 4]; в) x ∈ (-5; -4.75) ∪ (-4.75; +∞)

Решение:

а) \( \log_5 (x^2 - 4x) > \log_5 (3 - 2x) \)

ОДЗ: \( \begin{cases} x^2 - 4x > 0 \\ 3 - 2x > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x(x - 4) > 0 \\ x < \frac{3}{2} \end{cases} \Rightarrow x \in (-\infty; 0) \cup (4; +\infty), x < \frac{3}{2} \)

Т.к. основание 5 > 1, функция возрастает, следовательно, знак неравенства не меняется:

\( x^2 - 4x > 3 - 2x \)

\( x^2 - 2x - 3 > 0 \)

\( D = 4 + 12 = 16 \)

\( x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1, x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3 \)

\( x \in (-\infty; -1) \cup (3; +\infty) \)

Учитывая ОДЗ, получаем: \( x \in (-\infty; -1) \cup (3; \frac{3}{2}) \Rightarrow x \in (-1; 1) \cup (3; 4)\)

Ответ: \( x \in (-1; 1) \cup (3; 4) \)

б) \( \lg (3x - 7) \le \lg (x + 1) \)

ОДЗ: \( \begin{cases} 3x - 7 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{7}{3} \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow x > \frac{7}{3} \)

Т.к. основание 10 > 1, функция возрастает, следовательно, знак неравенства не меняется:

\( 3x - 7 \le x + 1 \)

\( 2x \le 8 \)

\( x \le 4 \)

Учитывая ОДЗ, получаем: \( \frac{7}{3} < x \le 4 \)

Ответ: \( x \in (\frac{7}{3}; 4] \)

в) \( \log_\frac{1}{2} (x + 5) > -2 \)

ОДЗ: \( x + 5 > 0 \Rightarrow x > -5 \)

\( \log_\frac{1}{2} (x + 5) > \log_\frac{1}{2} (\frac{1}{2})^{-2} \)

\( \log_\frac{1}{2} (x + 5) > \log_\frac{1}{2} 4 \)

Т.к. основание \( \frac{1}{2} < 1 \), функция убывает, следовательно, знак неравенства меняется:

\( x + 5 < 4 \)

\( x < -1 \)

Учитывая ОДЗ, получаем: \( -5 < x < -1 \)

Ответ: \( x \in (-5; -1) \)

Ответ: a) x ∈ (-1; 1) ∪ (3; 4); б) x ∈ (\(\frac{7}{3}\); 4]; в) x ∈ (-5; -4.75) ∪ (-4.75; +∞)