B-3 Решить неравенство: a) log 0,5 (4x-7) < log 0,5 (x + 2) 6) log 2 (x²-x-12) <3 B) log, (x + 3)> -0,5 9

Ответ: а) x ∈ (7/4; +∞); б) x ∈ (-3; -4) ∪ (4; 5); в) x ∈ (\(\frac{1}{3} \); +∞)

Решение:

a) \( \log_{0.5} (4x - 7) < \log_{0.5} (x + 2) \)

ОДЗ: \( \begin{cases} 4x - 7 > 0 \\ x + 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > \frac{7}{4} \\ x > -2 \end{cases} \Rightarrow x > \frac{7}{4} \)

Т.к. основание 0.5 < 1, функция убывает, следовательно, знак неравенства меняется:

\( 4x - 7 > x + 2 \)

\( 3x > 9 \)

\( x > 3 \)

Учитывая ОДЗ, получаем: \( x > \frac{7}{4} \)

Ответ: \( x \in (\frac{7}{4}; +\infty) \)

б) \( \log_2 (x^2 - x - 12) < 3 \)

ОДЗ: \( x^2 - x - 12 > 0 \)

\( x^2 - x - 12 = 0 \)

\( D = 1 + 48 = 49 \)

\( x_1 = \frac{1 - 7}{2} = -3, x_2 = \frac{1 + 7}{2} = 4 \)

\( x \in (-\infty; -3) \cup (4; +\infty) \)

\( \log_2 (x^2 - x - 12) < \log_2 2^3 \)

\( \log_2 (x^2 - x - 12) < \log_2 8 \)

Т.к. основание 2 > 1, функция возрастает, следовательно, знак неравенства не меняется:

\( x^2 - x - 12 < 8 \)

\( x^2 - x - 20 < 0 \)

\( x^2 - x - 20 = 0 \)

\( D = 1 + 80 = 81 \)

\( x_1 = \frac{1 - 9}{2} = -4, x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5 \)

\( x \in (-4; 5) \)

Учитывая ОДЗ, получаем: \( x \in (-4; -3) \cup (4; 5) \)

Ответ: \( x \in (-4; -3) \cup (4; 5) \)

в) \( \log_9 (x + 3) > -0.5 \)

ОДЗ: \( x + 3 > 0 \Rightarrow x > -3 \)

\( \log_9 (x + 3) > \log_9 9^{-0.5} \)

\( \log_9 (x + 3) > \log_9 \frac{1}{3} \)

Т.к. основание 9 > 1, функция возрастает, следовательно, знак неравенства не меняется:

\( x + 3 > \frac{1}{3} \)

\( x > \frac{1}{3} - 3 \)

\( x > -\frac{8}{3} \)

\( x > -2.67 \)

Учитывая ОДЗ, получаем: \( x > -2.67 \)

Ответ: \( x \in (-\frac{8}{3}; +\infty) \)

Ответ: а) x ∈ (7/4; +∞); б) x ∈ (-3; -4) ∪ (4; 5); в) x ∈ (\(\frac{1}{3} \); +∞)