Конус вписан в шар (см. рисунок). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Объём шара равен \(7776\pi\). Найдите объём конуса. Ответ разделите на \(\pi\).

Решение:

Обозначим радиус шара как \(R\) и радиус основания конуса как \(r\). По условию, центр сферы совпадает с центром основания конуса, поэтому \(r = R\).

Объём шара: \( V_{шара} = \frac{4}{3}\pi R^3 \).

По условию, \( V_{шара} = 7776\pi \).

\( \frac{4}{3}\pi R^3 = 7776\pi \)

\( R^3 = 7776 \cdot \frac{3}{4} = 1944 \cdot 3 = 5832 \)

\( R = \sqrt[3]{5832} = 18 \)

Так как \(r = R\), то радиус основания конуса \(r = 18\).

Высота конуса \(h\) — это также радиус шара, так как центр сферы находится в центре основания конуса, а вершина конуса лежит на поверхности шара. Следовательно, \(h = R = 18\).

Объём конуса: \( V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).

\( V_{конуса} = \frac{1}{3}\pi (18)^2 (18) = \frac{1}{3}\pi \cdot 324 \cdot 18 = \pi \cdot 324 \cdot 6 = 1944\pi \)

Разделим объём конуса на \(\pi\):

\( \frac{1944\pi}{\pi} = 1944 \)

Ответ: 1944