Контрольные задания > Классная работа 4. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC = 30°, ∠ABD = 55° и ∠BDC = 65°. Найдите углы четырёхугольника ABCD.
Вопрос:

Классная работа 4. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC = 30°, ∠ABD = 55° и ∠BDC = 65°. Найдите углы четырёхугольника ABCD.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы вписанного четырехугольника, лежащие напротив, в сумме дают 180°.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Найдем углы, опирающиеся на дугу CD. Угол CBD (30°) и угол CAD опираются на дугу CD. Значит, ∠CAD = ∠CBD = 30°.
  2. Шаг 2: Найдем углы, опирающиеся на дугу AB. Угол ADB и угол ACB опираются на дугу AB. Угол ABD = 55°. Угол ADB = 65°. В треугольнике ABD: ∠BAD = 180° - ∠ABD - ∠ADB = 180° - 55° - 65° = 180° - 120° = 60°.
  3. Шаг 3: Найдем угол ACB. Угол ADB = 65°, а углы ADB и ACB опираются на одну дугу AB. Значит, ∠ACB = ∠ADB = 65°.
  4. Шаг 4: Найдем угол BCD. Угол BCD = ∠BCA + ∠ACD. Нам нужно найти ∠ACD. Угол ACD опирается на дугу AD. Угол ABD = 55°. Угол BCD = 180° - ∠BAD = 180° - 60° = 120°.
  5. Шаг 5: Найдем угол ABC. Угол ABC = ∠ABD + ∠DBC = 55° + 30° = 85°.
  6. Шаг 6: Проверим сумму противоположных углов. ∠ABC + ∠ADC = 85° + (∠ADB + ∠BDC) = 85° + (65° + 65°) = 85° + 130° = 215°. Это не 180°. Ошибка в рассуждениях.
  7. Шаг 7: Пересчитаем углы. ∠DBC = 30°, ∠ABD = 55°, ∠BDC = 65°.
  8. Шаг 8: Углы четырехугольника: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.
  9. Шаг 9: Угол ∠A = ∠BAC + ∠CAD. Мы знаем ∠ABD = 55°, ∠DBC = 30°, ∠BDC = 65°.
  10. Шаг 10: Углы, опирающиеся на одну дугу: ∠CAD = ∠CBD = 30°. ∠BAC = ∠BDC = 65°. (Опираются на дугу BC).
  11. Шаг 11: Угол ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 65° + 30° = 95°.
  12. Шаг 12: Угол ∠C = ∠BCA + ∠ACD. Угол BCA = ∠BDA = 65°. (Опираются на дугу AB). Угол ACD = ∠ABD = 55°. (Опираются на дугу AD).
  13. Шаг 13: Угол ∠C = ∠BCA + ∠ACD = 65° + 55° = 120°.
  14. Шаг 14: Угол ∠B = ∠ABD + ∠DBC = 55° + 30° = 85°.
  15. Шаг 15: Угол ∠D = ∠ADB + ∠BDC = 65° + 65° = 130°.
  16. Шаг 16: Проверка: ∠A + ∠C = 95° + 120° = 215°. Это не 180°.
  17. Шаг 17: Вновь перепроверим, какие углы опираются на какие дуги. ∠DBC = 30° (дуга DC). ∠ABD = 55° (дуга AD). ∠BDC = 65° (дуга BC).
  18. Шаг 18: Угол ∠A = ∠ABD + ∠DBC = 55° + 30° = 85°. Нет, это угол B.
  19. Шаг 19: Угол ∠A = ∠CAD + ∠BAC. ∠CAD = ∠CBD = 30° (дуга CD). ∠BAC = ∠BDC = 65° (дуга BC). => ∠A = 30° + 65° = 95°.
  20. Шаг 20: Угол ∠B = ∠ABD + ∠DBC = 55° + 30° = 85°.
  21. Шаг 21: Угол ∠C = ∠BCA + ∠ACD. ∠BCA = ∠BDA = 65° (дуга AB). ∠ACD = ∠ABD = 55° (дуга AD). => ∠C = 65° + 55° = 120°.
  22. Шаг 22: Угол ∠D = ∠ADB + ∠BDC. ∠ADB = ? ∠BDC = 65° (дуга BC). Нам нужно найти ∠ADB. В треугольнике BCD: ∠CBD = 30°, ∠BDC = 65°. => ∠BCD = 180° - 30° - 65° = 85°. Но мы ранее нашли ∠C = 120°. Это противоречие.
  23. Шаг 23: Перечитаем условие. ∠DBC = 30°, ∠ABD = 55° и ∠BDC = 65°.
  24. Шаг 24: Углы четырехугольника: ∠A, ∠B, ∠C, ∠D.
  25. Шаг 25: ∠A = ∠BAC + ∠CAD. ∠CAD = ∠CBD = 30° (опираются на дугу CD). ∠BAC = ∠BDC = 65° (опираются на дугу BC). ∠A = 30° + 65° = 95°.
  26. Шаг 26: ∠B = ∠ABD + ∠DBC = 55° + 30° = 85°.
  27. Шаг 27: ∠C = ∠BCA + ∠ACD. ∠BCA = ∠BDA. ∠ACD = ∠ABD = 55° (опираются на дугу AD).
  28. Шаг 28: ∠D = ∠ADB + ∠BDC. ∠BDC = 65° (опираются на дугу BC).
  29. Шаг 29: Для нахождения ∠ADB: рассмотрим треугольник ABD. ∠ABD = 55°. ∠ADB = ?. ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD. Мы знаем ∠CAD=30°. ∠BAC=?
  30. Шаг 30: Углы, опирающиеся на одну дугу: ∠ADB = ∠ACB (дуга AB). ∠BDC = ∠BAC = 65° (дуга BC). ∠CAD = ∠CBD = 30° (дуга CD). ∠ABD = ∠ACD = 55° (дуга AD).
  31. Шаг 31: Теперь мы можем найти углы четырехугольника:
  32. Шаг 32: ∠A = ∠CAD + ∠BAC. Мы знаем ∠CAD = 30°. ∠BAC = 65° (так как ∠BAC = ∠BDC). ∠A = 30° + 65° = 95°.
  33. Шаг 33: ∠B = ∠ABD + ∠DBC. ∠ABD = 55°. ∠DBC = 30°. ∠B = 55° + 30° = 85°.
  34. Шаг 34: ∠C = ∠BCA + ∠ACD. ∠ACD = ∠ABD = 55°. ∠BCA = ∠BDA. Мы не знаем ∠BDA.
  35. Шаг 35: ∠D = ∠ADB + ∠BDC. ∠BDC = 65°. ∠ADB = ∠ACB.
  36. Шаг 36: В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна 180°.
  37. Шаг 37: ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°.
  38. Шаг 38: Мы нашли ∠A = 95° и ∠B = 85°.
  39. Шаг 39: Тогда ∠C = 180° - ∠A = 180° - 95° = 85°.
  40. Шаг 40: И ∠D = 180° - ∠B = 180° - 85° = 95°.
  41. Шаг 41: Теперь проверим, соответствуют ли эти значения исходным данным.
  42. Шаг 42: ∠DBC = 30°. Это часть ∠B.
  43. Шаг 43: ∠ABD = 55°. Это другая часть ∠B. ∠B = 55° + 30° = 85°. Это совпадает.
  44. Шаг 44: ∠BDC = 65°. Это часть ∠D.
  45. Шаг 45: ∠ADB = ? Если ∠D = 95°, то ∠ADB = ∠D - ∠BDC = 95° - 65° = 30°.
  46. Шаг 46: Проверим другие углы. ∠BAC = ∠BDC = 65°. ∠CAD = ∠CBD = 30°. ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 65° + 30° = 95°. Это совпадает.
  47. Шаг 47: ∠ACB = ∠ADB = 30°. ∠ACD = ∠ABD = 55°. ∠C = ∠ACB + ∠ACD = 30° + 55° = 85°. Это совпадает.

Ответ: ∠A = 95°, ∠B = 85°, ∠C = 85°, ∠D = 95°.

ГДЗ по фото 📸

Похожие