Домашняя работа 4. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC = 38°, ∠ABD = 47° и ∠BDC = 58°. Найдите углы четырёхугольника ABCD.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем, какие углы опираются на одни и те же дуги.
• ∠DBC = 38° опирается на дугу DC. Следовательно, ∠DAC = 38°.
• ∠ABD = 47° опирается на дугу AD. Следовательно, ∠ACD = 47°.
• ∠BDC = 58° опирается на дугу BC. Следовательно, ∠BAC = 58°.
2. Шаг 2: Находим углы четырехугольника.
• ∠A = ∠BAC + ∠CAD = 58° + 38° = 96°.
• ∠B = ∠ABD + ∠DBC = 47° + 38° = 85°.
• ∠C = ∠ACD + ∠ACB. Нам нужно найти ∠ACB. ∠ACB опирается на дугу AB. ∠ADB опирается на дугу AB.
• ∠D = ∠BDC + ∠ADB. Нам нужно найти ∠ADB. ∠ADB опирается на дугу AB.
3. Шаг 3: Используем свойство суммы противоположных углов четырехугольника. ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°.
4. Шаг 4: Находим ∠C: ∠C = 180° - ∠A = 180° - 96° = 84°.
5. Шаг 5: Находим ∠D: ∠D = 180° - ∠B = 180° - 85° = 95°.
6. Шаг 6: Проверим полученные значения.
• ∠C = ∠ACD + ∠ACB. Мы знаем ∠ACD = 47°. Значит, ∠ACB = ∠C - ∠ACD = 84° - 47° = 37°.
• ∠D = ∠BDC + ∠ADB. Мы знаем ∠BDC = 58°. Значит, ∠ADB = ∠D - ∠BDC = 95° - 58° = 37°.
• Углы ∠ACB и ∠ADB должны быть равны, так как они опираются на одну дугу AB. Наши расчеты показывают, что ∠ACB = 37° и ∠ADB = 37°. Это совпадает.

Ответ: ∠A = 96°, ∠B = 85°, ∠C = 84°, ∠D = 95°.