5.J(+/-2ex)dx

Ответ: смотри решение ниже

Решение:

Дано: \[\int (\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2e^x) dx\]

Применим свойства интеграла суммы: \[\int (f(x) + g(x) - h(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx - \int h(x) dx\]

Тогда интеграл можно разбить на три: \[\int \frac{4}{\sqrt{x}} dx + \int \frac{3}{x} dx - \int 2e^x dx\]

Константы можно вынести за знак интеграла: \[4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} dx + 3 \int \frac{1}{x} dx - 2 \int e^x dx\]

Первый интеграл: \[\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int x^{-\frac{1}{2}} dx = 2\sqrt{x} + C_1\]

Второй интеграл: \[\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C_2\]

Третий интеграл: \[\int e^x dx = e^x + C_3\]

Объединим результаты: \[4 \cdot 2\sqrt{x} + 3 \ln|x| - 2e^x + C = 8\sqrt{x} + 3 \ln|x| - 2e^x + C\]

Ответ: \(8\sqrt{x} + 3 \ln|x| - 2e^x + C\)