7. J (2-3-2 sin (1-2)) dx

Ответ: смотри решение ниже

Решение:

Дано: \[\int (\frac{3}{x-3} - 2 sin(1-x)) dx\]

Применим свойства интеграла суммы: \[\int (f(x) - g(x)) dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx\]

Тогда интеграл можно разбить на два: \[\int \frac{3}{x-3} dx - \int 2 sin(1-x) dx\]

Константы можно вынести за знак интеграла: \[3 \int \frac{1}{x-3} dx - 2 \int sin(1-x) dx\]

Первый интеграл: \[\int \frac{1}{x-3} dx\]

Замена переменной: u = x - 3, du = dx

Тогда: \[\int \frac{1}{u} du = \ln|u| + C_1 = \ln|x-3| + C_1\]

Второй интеграл: \[\int sin(1-x) dx\]

Замена переменной: v = 1 - x, dv = -dx, dx = -dv

Тогда: \[-\int sin(v) dv = cos(v) + C_2 = cos(1-x) + C_2\]

Объединим результаты: \[3 \ln|x-3| + 2 cos(1-x) + C\]

Ответ: \(3 \ln|x-3| + 2 cos(1-x) + C\)