Докажите тождество $$(a+b)^2 - (c+d)^2 + (a+c)^2 - (b+d)^2 = 2(a-d)(a+b+c+d)$$.

Раскроем скобки в левой части:

$$(a^2 + 2ab + b^2) - (c^2 + 2cd + d^2) + (a^2 + 2ac + c^2) - (b^2 + 2bd + d^2) =$$ $$= a^2 + 2ab + b^2 - c^2 - 2cd - d^2 + a^2 + 2ac + c^2 - b^2 - 2bd - d^2 =$$ $$= 2a^2 + 2ab - 2cd + 2ac - 2bd - 2d^2 = 2(a^2 + ab - cd + ac - bd - d^2)$$.

Раскроем скобки в правой части:

$$2(a-d)(a+b+c+d) = 2(a^2 + ab + ac + ad - ad - bd - cd - d^2) =$$ $$= 2(a^2 + ab + ac - bd - cd - d^2)$$.

Так как левая и правая части равны, тождество доказано.