5. Докажите, что выражение х²- 12x + 38 принимает положительные значения при всех значениях X.

Для доказательства, что выражение x² - 12x + 38 принимает положительные значения при всех значениях x, можно использовать метод выделения полного квадрата.

1. Преобразуем выражение x² - 12x + 38, выделив полный квадрат:

$$ x^2 - 12x + 38 = (x^2 - 12x + 36) + 38 - 36 $$

2. Заметим, что x² - 12x + 36 можно представить как (x - 6)²:

$$ (x - 6)^2 = x^2 - 12x + 36 $$

3. Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$$ (x - 6)^2 + 38 - 36 = (x - 6)^2 + 2 $$

4. Анализируем полученное выражение (x - 6)² + 2:

Так как (x - 6)² всегда неотрицательно для любого действительного x (квадрат любого числа больше или равен нулю), то (x - 6)² ≥ 0.

5. Следовательно, (x - 6)² + 2 всегда будет больше или равно 2, то есть положительно:

$$ (x - 6)^2 + 2 ≥ 2 > 0 $$

Таким образом, выражение x² - 12x + 38 принимает положительные значения при всех значениях x.

Ответ: Выражение x²-12x + 38 принимает положительные значения при всех значениях x, так как может быть представлено в виде (x-6)² + 2, где (x-6)² всегда неотрицательно, и, следовательно, (x-6)² + 2 всегда больше нуля.