Докажите, что точка пересечения биссектрисы острого угла прямоугольного треугольника и биссектрисы прямого угла равноудалена от гипотенузы и катета, прилежащего к этому острому углу.

Доказательство:

• Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Пусть BE — биссектриса острого угла B, а AD — биссектриса прямого угла A. Пусть O — точка пересечения BE и AD.
• Точка O лежит на биссектрисе угла A, следовательно, она равноудалена от сторон AB и AC.
• Точка O также лежит на биссектрисе угла B, следовательно, она равноудалена от сторон AB и BC.
• Таким образом, точка O равноудалена от сторон AB, AC и BC, то есть от гипотенузы и катетов. Следовательно, точка пересечения биссектрис острого угла и прямого угла равноудалена от гипотенузы и катета, прилежащего к этому острому углу, что и требовалось доказать.