Дайте развернутый ответ. Постройте график функции $$y=\begin{cases}2,5x-3,5, при x<2\\-3x+7,5, при 2\le x\le3\\x-6, при x>3.\end{cases}$$ Определите, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки.

Построим график функции

$$y=\begin{cases}2,5x-3,5, при x<2\\-3x+7,5, при 2\le x\le3\\x-6, при x>3.\end{cases}$$

1. Рассмотрим функцию $$y = 2.5x - 3.5$$ при $$x < 2$$.

Это прямая линия. При $$x = 2$$ значение функции равно:

$$y = 2.5(2) - 3.5 = 5 - 3.5 = 1.5$$.

Поскольку $$x < 2$$, эта точка не входит в график, и она будет выколотой.

2. Рассмотрим функцию $$y = -3x + 7.5$$ при $$2 \le x \le 3$$.

Это также прямая линия. При $$x = 2$$ значение функции равно:

$$y = -3(2) + 7.5 = -6 + 7.5 = 1.5$$.

При $$x = 3$$ значение функции равно:

$$y = -3(3) + 7.5 = -9 + 7.5 = -1.5$$.

3. Рассмотрим функцию $$y = x - 6$$ при $$x > 3$$.

Это тоже прямая линия. При $$x = 3$$ значение функции равно:

$$y = 3 - 6 = -3$$.

Поскольку $$x > 3$$, эта точка не входит в график, и она будет выколотой.

Теперь проанализируем, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

1) Прямая $$y = 1.5$$ проходит через точку соединения первого и второго участков функции. На первом участке точка выколотая, а на втором участке эта точка входит в график. Следовательно, будет только одна общая точка.

2) Прямая $$y = -1.5$$ проходит через конец второго участка функции, и она входит в график. Чтобы прямая имела две общие точки с графиком, она должна пересекать также и третий участок. Для этого значение m должно быть больше -3, так как при $$x > 3$$ функция $$y = x - 6$$ убывает.

Если $$m = -3$$, то прямая не имеет общих точек со 3 участком графика, т.к. на 3 участке точка выколотая.

3) $$m$$ должно быть больше -1,5, но меньше 1,5, чтобы прямая пересекала 1 и 2 участки графика, а с 3 участком общих точек не было.

4) $$m \in (-6; -1,5)$$

Ответ:$$m=-1.5$$