Постройте график функции $$y=\frac{x-3}{x^2-3x}$$. Определите, при каких значениях k прямая y=kx имеет с графиком ровно одну общую точку.

Построим график функции $$y=\frac{x-3}{x^2-3x}$$.

Преобразуем выражение:

$$y = \frac{x-3}{x(x-3)}$$

При $$x
eq 3$$ получим:

$$y = \frac{1}{x}$$

График функции $$y = \frac{1}{x}$$ представляет собой гиперболу с вертикальной асимптотой $$x = 0$$ и горизонтальной асимптотой $$y = 0$$. Однако, нужно учесть, что при $$x = 3$$ функция не определена, поэтому в точке с абсциссой $$x = 3$$ на графике будет «выколотая» точка.

Найдем значение функции в точке x = 3:

$$y(3) = \frac{1}{3}$$

Прямая $$y = kx$$ проходит через начало координат. Прямая $$y = kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку, если она проходит через «выколотую» точку $$(\frac{1}{3}; 3)$$, а также, когда она пересекает только одну ветвь гиперболы.

Найдем k для выколотой точки:

$$\frac{1}{3} = k \cdot 3$$

$$k = \frac{1}{9}$$

Подставим в уравнение гиперболы. Уравнение $$kx = \frac{1}{x}$$ должно иметь один корень.

$$kx^2=1$$

$$x = \pm \sqrt{\frac{1}{k}}$$

Чтобы корень был 1 $$k < 0$$.

Ответ:$$k<0; k=\frac{1}{9}$$