5 Дано: прямая CD перпендикулярна плоскости ADB, ∠ADB = 90°. Найти угол между плоскостями АСВ и ADC.

Пусть AD = a, DB = b. Так как ∠ADB = 90°, то треугольник ADB - прямоугольный.

Рассмотрим треугольник ACD. Он прямоугольный, так как CD перпендикулярна плоскости ADB.

$$tg 30° = \frac{CD}{AD}$$, тогда $$CD = AD \cdot tg 30° = \frac{a}{\sqrt{3}}$$.

Рассмотрим треугольник CDB. Он прямоугольный, так как CD перпендикулярна плоскости ADB.

$$tg 45° = \frac{CD}{DB}$$, тогда $$CD = DB \cdot tg 45° = b$$.

Следовательно, $$CD = \frac{a}{\sqrt{3}} = b$$

$$a = b\sqrt{3}$$

В прямоугольном треугольнике ADB гипотенуза AB равна:

$$AB = \sqrt{AD^2 + DB^2} = \sqrt{(b\sqrt{3})^2 + b^2} = \sqrt{3b^2 + b^2} = \sqrt{4b^2} = 2b$$

В прямоугольном треугольнике ADC гипотенуза AC равна:

$$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{(b\sqrt{3})^2 + b^2} = \sqrt{3b^2 + b^2} = \sqrt{4b^2} = 2b$$

В прямоугольном треугольнике CDB гипотенуза CB равна:

$$CB = \sqrt{CD^2 + DB^2} = \sqrt{b^2 + b^2} = b\sqrt{2}$$

Следовательно, треугольник ABC равнобедренный, AC = AB.

cos угла между плоскостями АСВ и ADC равен:

$$cos \angle = \frac{AD}{AC} = \frac{b\sqrt{3}}{2b} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$ \angle = arccos\frac{\sqrt{3}}{2} = 30°$$

Ответ: 30°