2 Дано: ∠BAC = 90°, AO = 6.

Рассмотрим треугольник ABC. Так как ∠BAC = 90°, то треугольник ABC - прямоугольный. AO - медиана, проведенная к гипотенузе BC. Известно, что медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно, BC = 2AO = 2 ∙ 6 = 12.

Рассмотрим треугольник BAO. Треугольник равнобедренный, так как AO = BO = 6, BD - высота, следовательно, она является и медианой. AD = DO = 3.

По теореме Пифагора:

$$BD^2 = AB^2 - AD^2$$

$$AB^2 = BC^2 - AC^2$$

Рассмотрим треугольник AOC. Треугольник равнобедренный, так как AO = OC = 6, OD - высота, следовательно, она является и медианой. DO = DC = 3.

По теореме Пифагора:

$$OD^2 = AC^2 - DC^2$$

$$AC^2 = AO^2 + OC^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$$

$$AC = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$

$$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{15^2 + (6\sqrt{2})^2} = \sqrt{225 + 72} = \sqrt{297}$$

$$AB^2 = BC^2 - AC^2 = 20^2 - (6\sqrt{2})^2 = 400 - 72 = 328$$

$$tg\angle\alpha = \frac{BD}{DO} = \frac{\sqrt{328}}{3}$$

Ответ: \(\frac{\sqrt{328}}{3}\)