Дано: ΔABC, M ∈ AB, N ∈ BC; MN = 8, MB = 3, BN = 7, AC = 48, AM = 15, CN = 35. Доказать: MN ∥ AC.

Найдём стороны большого треугольника: \(AB=AM+MB=15+3=18\), \(BC=BN+CN=7+35=42\).

Сравним соответствующие стороны треугольников BMN и BAC: \(\dfrac{MN}{AC}=\dfrac{8}{48}=\dfrac{1}{6}\), \(\dfrac{MB}{AB}=\dfrac{3}{18}=\dfrac{1}{6}\), \(\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{7}{42}=\dfrac{1}{6}\).

Следовательно, \(\triangle BMN\sim\triangle BAC\) по трём пропорциональным сторонам. Тогда соответствующие углы равны: \(\angle BMN=\angle BAC\). Это накрест лежащие углы при прямых MN и AC и секущей AB, поэтому \(MN\parallel AC\).