2. Дано: ΔABC, K ∈ AC, M ∈ BC; AK:KC = 2:3, BM:MC = 3:4; AM ∩ BK = O. Найти: AO:OM.

Проведём через M прямую, параллельную BK; пусть она пересекает AC в P. По теореме о пропорциональных отрезках \(\dfrac{KP}{PC}=\dfrac{BM}{MC}=\dfrac{3}{4}\). Значит, можно обозначить \(KP=3x\), \(PC=4x\), поэтому \(KC=7x\).

Из \(AK:KC=2:3\) обозначим \(AK=2y\), \(KC=3y\). Тогда \(7x=3y\), откуда \(x=\dfrac{3y}{7}\) и \(KP=3x=\dfrac{9y}{7}\).

Поскольку MP ∥ BK, треугольники AOK и MOP подобны: \(\dfrac{AO}{OM}=\dfrac{AK}{KP}=\dfrac{2y}{9y/7}=\dfrac{14}{9}\).

Ответ: \(AO:OM=14:9\).