(20*) Дано: АB = BC, BM медиана ДАВС, ZKMB = ∠ABM, KN медиана ΔΜΚΒ. Доказать: KN || AC.

Дано: AB = BC, BM - медиана ΔABC, ∠KMB = ∠ABM, KN - медиана ΔMKB.

Доказать: KN || AC.

Доказательство:

1) Рассмотрим ΔABC. Т.к. AB = BC, то ΔABC - равнобедренный (по определению). Следовательно, ∠BAC = ∠BCA (по свойству равнобедренного треугольника).

2) Рассмотрим ΔMKB. Т.к. KN - медиана ΔMKB, то MK = KB.

3) Следовательно, ΔMKB - равнобедренный (по определению). Следовательно, ∠KMB = ∠KBM (по свойству равнобедренного треугольника).

4) Т.к. ∠KMB = ∠ABM (по условию), то ∠ABM = ∠KBM.

5) ∠ABC = ∠ABM + ∠KBM = 2 * ∠ABM.

6) ∠BAC = ∠BCA = (180° - ∠ABC) / 2 = (180° - 2 * ∠ABM) / 2 = 90° - ∠ABM.

7) ∠NKB = 180° - ∠KMB - ∠ABM = 180° - 2 * ∠ABM.

8) ∠NKB + ∠BAC = 180° - 2 * ∠ABM + 90° - ∠ABM = 270° - 3 * ∠ABM.

9) Следовательно, KN || AC (по признаку параллельности прямых).

Ответ: KN || AC.