6 C 20 15 X A D y B

Задание 6.

Дано: прямоугольный треугольник ABC, CD - высота, AD = 15, BD = 20, CD = x, AC = y.

Решение.

1. По теореме Пифагора для треугольника ADC: $$y^2 = AD^2 + CD^2 = 15^2 + x^2$$.

2. По теореме Пифагора для треугольника BDC: $$BC^2 = BD^2 + CD^2 = 20^2 + x^2$$.

3. По теореме Пифагора для треугольника ABC: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$.

$$AB = AD + DB = 15 + 20 = 35$$.

$$35^2 = y^2 + BC^2 = 15^2 + x^2 + 20^2 + x^2$$

$$1225 = 225 + x^2 + 400 + x^2$$

$$2x^2 = 600$$

$$x^2 = 300$$

$$x = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$$.

$$y = \sqrt{15^2 + x^2} = \sqrt{225 + 300} = \sqrt{525} = 5\sqrt{21}$$.

Ответ: $$x = 10\sqrt{3}$$, $$y = 5\sqrt{21}$$.