Часть II. Запишите обоснованное решение и ответ. 1. Найдите первообразную F(x) функции f(x) = 1/(sqrt(x+1)) + 2x, если график первообразной проходит через точку М(3; 13).

Решение:

1. Найдём первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}} + 2x \).
2. Интегрируем по частям: \[ F(x) = \int \left( \frac{1}{\sqrt{x+1}} + 2x \right) dx = \int (x+1)^{-\frac{1}{2}} dx + \int 2x dx \]
3. Первый интеграл: \( \int (x+1)^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{(x+1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x+1} \).
4. Второй интеграл: \( \int 2x dx = x^2 \).
5. Таким образом, первообразная имеет вид: \( F(x) = 2\sqrt{x+1} + x^2 + C \).
6. Используем условие, что график проходит через точку \( M(3; 13) \): \( F(3) = 13 \).
7. Подставляем \( x = 3 \) и \( F(x) = 13 \): \( 13 = 2\sqrt{3+1} + 3^2 + C \).
8. \( 13 = 2\sqrt{4} + 9 + C \).
9. \( 13 = 2 \cdot 2 + 9 + C \).
10. \( 13 = 4 + 9 + C \).
11. \( 13 = 13 + C \).
12. \( C = 0 \).
13. Следовательно, первообразная: \( F(x) = 2\sqrt{x+1} + x^2 \).

Ответ: F(x) = 2\(\sqrt{x+1}\) + x².