6. Найдите все решения уравнения cos 2x + sin x = cos² x, принадлежащие отрезку [0; 2π].

Решение:

Данное уравнение: \( \cos 2x + \sin x = \cos^2 x \).

Используем формулу косинуса двойного угла: \( \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x \).

Подставим её в уравнение:

\( (1 - 2\sin^2 x) + \sin x = \cos^2 x \)

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \).

\( 1 - 2\sin^2 x + \sin x = 1 - \sin^2 x \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 1 - 2\sin^2 x + \sin x - 1 + \sin^2 x = 0 \)

\( -\sin^2 x + \sin x = 0 \)

Умножим на -1:

\( \sin^2 x - \sin x = 0 \)

Вынесем \( \sin x \) за скобки:

\( \sin x (\sin x - 1) = 0 \)

Отсюда следуют два случая:

1. \( \sin x = 0 \)

Решениями этого уравнения на отрезке \( [0; 2\pi] \) являются \( x = 0, x = \pi, x = 2\pi \).

1. \( \sin x - 1 = 0 \) \( \Rightarrow \sin x = 1 \)

Решением этого уравнения на отрезке \( [0; 2\pi] \) является \( x = \frac{\pi}{2} \).

Объединим все найденные решения:

\( x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi, 2\pi \).

Ответ: \( 0, \frac{\pi}{2}, \pi, 2\pi \).