5. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции f(x) = -x² + 6x - 5, прямыми х = 2, x = 3 и осью абсцисс, изобразив рисунок.

Решение:

1. Найдём точки пересечения параболы \( f(x) = -x^2 + 6x - 5 \) с осью абсцисс (y=0):
2. \( -x^2 + 6x - 5 = 0 \)
3. \( x^2 - 6x + 5 = 0 \)
4. \( (x-1)(x-5) = 0 \)
5. Точки пересечения: \( x=1 \) и \( x=5 \).
6. Ветви параболы направлены вниз. На интервале \( [2, 3] \) функция \( f(x) \) положительна (например, \( f(2) = -4 + 12 - 5 = 3 \), \( f(3) = -9 + 18 - 5 = 4 \)).
7. Площадь фигуры \( S \) находится как определённый интеграл от функции \( f(x) \) по интервалу \( [2, 3] \):
8. \[ S = \int_{2}^{3} (-x^2 + 6x - 5) dx \]
9. Вычислим интеграл:
10. \[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{6x^2}{2} - 5x \right]_{2}^{3} \]
11. \[ S = \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x \right]_{2}^{3} \]
12. Подставим верхний предел (3):
13. \[ -\frac{3^3}{3} + 3(3)^2 - 5(3) = -\frac{27}{3} + 3(9) - 15 = -9 + 27 - 15 = 18 - 15 = 3 \]
14. Подставим нижний предел (2):
15. \[ -\frac{2^3}{3} + 3(2)^2 - 5(2) = -\frac{8}{3} + 3(4) - 10 = -\frac{8}{3} + 12 - 10 = -\frac{8}{3} + 2 = -\frac{8}{3} + \frac{6}{3} = -\frac{2}{3} \]
16. Вычислим площадь: \( S = 3 - \left(-\frac{2}{3}\right) = 3 + \frac{2}{3} = \frac{9}{3} + \frac{2}{3} = \frac{11}{3} \).

Ответ: \(\frac{11}{3}\).