4. Дана функция f(x) = 8x² – x⁴. Найдите: А) промежутки возрастания и убывания функции; Б) точки максимума и минимума функции; В) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1; 3].

Решение:

Функция: \( f(x) = 8x^2 - x^4 \)

А) Промежутки возрастания и убывания:

1. Найдем производную функции:

\( f'(x) = \frac{d}{dx}(8x^2 - x^4) = 16x - 4x^3 \)

2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 16x - 4x^3 = 0 \)

\( 4x(4 - x^2) = 0 \)

\( 4x(2 - x)(2 + x) = 0 \)

Критические точки: \( x = 0, x = 2, x = -2 \).

3. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
• На интервале \( (-\infty; -2) \) (например, \( x = -3 \)): \( f'(-3) = 16(-3) - 4(-3)^3 = -48 - 4(-27) = -48 + 108 = 60 > 0 \) (возрастает).
• На интервале \( (-2; 0) \) (например, \( x = -1 \)): \( f'(-1) = 16(-1) - 4(-1)^3 = -16 - 4(-1) = -16 + 4 = -12 < 0 \) (убывает).
• На интервале \( (0; 2) \) (например, \( x = 1 \)): \( f'(1) = 16(1) - 4(1)^3 = 16 - 4 = 12 > 0 \) (возрастает).
• На интервале \( (2; \infty) \) (например, \( x = 3 \)): \( f'(3) = 16(3) - 4(3)^3 = 48 - 4(27) = 48 - 108 = -60 < 0 \) (убывает).
4. Запишем промежутки возрастания и убывания:
• Возрастает на \( (-\infty; -2] \) и \( [0; 2] \).
• Убывает на \( [-2; 0] \) и \( [2; \infty) \).

Б) Точки максимума и минимума:

Точки максимума и минимума соответствуют сменам знака производной:

• \( x = -2 \) — точка локального максимума (производная меняет знак с + на -).
• \( x = 0 \) — точка локального минимума (производная меняет знак с - на +).
• \( x = 2 \) — точка локального максимума (производная меняет знак с + на -).

В) Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1; 3]:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений на отрезке необходимо вычислить значения функции в критических точках, попавших в отрезок, и на концах отрезка.

Критические точки в отрезке \( [-1; 3] \): \( x = 0 \) и \( x = 2 \). Концы отрезка: \( x = -1 \) и \( x = 3 \).

1. Вычислим значения \( f(x) \) в этих точках:
• \( f(-1) = 8(-1)^2 - (-1)^4 = 8(1) - 1 = 8 - 1 = 7 \)
• \( f(0) = 8(0)^2 - (0)^4 = 0 \)
• \( f(2) = 8(2)^2 - (2)^4 = 8(4) - 16 = 32 - 16 = 16 \)
• \( f(3) = 8(3)^2 - (3)^4 = 8(9) - 81 = 72 - 81 = -9 \)
2. Сравним полученные значения:
• Наибольшее значение = \( 16 \) (достигается при \( x = 2 \)).
• Наименьшее значение = \( -9 \) (достигается при \( x = 3 \)).

Ответ: А) Возрастает на \( (-\infty; -2] \) и \( [0; 2] \), убывает на \( [-2; 0] \) и \( [2; \infty) \). Б) Локальный максимум в \( x = -2 \) и \( x = 2 \), локальный минимум в \( x = 0 \). В) Наибольшее значение функции равно 16, наименьшее — -9.