Билет №14. 4. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции АВСD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF = 24, BF = 32.

Так как АВ - секущая для параллельных оснований трапеции, то угол FAB + угол ABF = 180° (если АВ - боковая сторона, а основания параллельны). Однако, в данном случае, АВ является боковой стороной, и биссектрисы углов А и В прилежащих к ней пересекаются в точке F. Углы FAB и FBA являются частями углов трапеции. Так как AF и BF - биссектрисы, то угол FAB = угол А/2 и угол FBA = угол В/2. В трапеции ABCD, если AB и CD - боковые стороны, то углы A и B прилежат к одному основанию. Если AB - основание, то это не трапеция. Предполагается, что AB - боковая сторона. Углы при боковой стороне трапеции в сумме дают 180 градусов. Угол FAB + угол FBA = угол A/2 + угол B/2 = (угол A + угол B)/2. Если AB - боковая сторона, то A и B - углы при одном из оснований. Тогда угол A + угол B = 180°. Следовательно, угол FAB + угол FBA = 180°/2 = 90°. Треугольник ABF - прямоугольный с прямым углом F. По теореме Пифагора, AB^2 = AF^2 + BF^2 = 24^2 + 32^2 = 576 + 1024 = 1600. AB = sqrt(1600) = 40.