B7 Найдите сумму корней (корень, если он единственный) уравнения log₅(x + 9) / log₅(x + 7) = 2

Решение:

1. ОДЗ (область допустимых значений):
   • x + 9 > 0 => x > -9
   • x + 7 > 0 => x > -7
   • log₅(x + 7) ≠ 0 => x + 7 ≠ 1 => x ≠ -6
   Объединяя условия, получаем: x > -7 и x ≠ -6.
2. Применим свойство логарифмов: log_a(b) / log_a(c) = log_c(b). В нашем случае, основание логарифма меняется. Правильнее использовать основное свойство логарифма: log_a(b) = log_c(b) / log_c(a).
3. Перепишем уравнение: log_x+7(x+9) = 2
4. Перейдем к определению логарифма: x + 9 = (x + 7)²
5. Раскроем скобки: x + 9 = x² + 14x + 49
6. Приведем к квадратному уравнению: x² + 13x + 40 = 0
7. Найдем корни квадратного уравнения (по теореме Виета или через дискриминант):
   • x₁ + x₂ = -13
   • x₁ * x₂ = 40
   • Корни: x₁ = -5, x₂ = -8
8. Проверим корни на соответствие ОДЗ (x > -7 и x ≠ -6):
   • x₁ = -5 удовлетворяет ОДЗ.
   • x₂ = -8 не удовлетворяет ОДЗ (x > -7).
9. Единственный корень уравнения: x = -5.
10. Найдем сумму корней: Так как корень единственный, сумма равна самому корню.

Ответ: -5