B10 В параллелограмме ABCD, угол ABC которого 60°, проведена биссектриса угла BL так, что AL : AD = 1:3, a BL = 8. Найдите значение выражения S², где S - площадь параллелограмма ABCD.

Дано:

• Параллелограмм ABCD.
• ∠ABC = 60°.
• BL — биссектриса ∠ABC.
• AL : AD = 1 : 3.
• BL = 8.

Найти:

• S², где S — площадь параллелограмма ABCD.

Решение:

1. Свойства параллелограмма:
   • AB || DC, AD || BC.
   • AB = DC, AD = BC.
   • ∠ABC = ∠ADC = 60°, ∠BAD = ∠BCD = 180° - 60° = 120°.
2. Свойства биссектрисы: BL делит ∠ABC пополам, значит ∠ABL = ∠LBC = 60° / 2 = 30°.
3. Рассмотрим ▵ABL:
   • ∠ABL = 30°.
   • ∠BAL = 120° (так как это ∠BAD параллелограмма).
   • Сумма углов в ▵ABL: ∠ALB = 180° - ∠BAL - ∠ABL = 180° - 120° - 30° = 30°.
   • Так как ∠ABL = ∠ALB = 30°, то ▵ABL — равнобедренный с основанием AB.
   • Следовательно, AL = AB.
4. Используем отношение AL : AD = 1 : 3:
   • Пусть AL = x. Тогда AD = 3x.
   • Так как AL = AB, то AB = x.
5. Найдем стороны параллелограмма:
   • AB = x.
   • AD = 3x.
6. Найдем площадь параллелограмма (S): S = AB * AD * sin(∠BAD) = x * 3x * sin(120°).
7. sin(120°) = sin(180° - 60°) = sin(60°) = √3 / 2.
8. S = 3x² * (√3 / 2).
9. Найдем x, используя длину биссектрисы BL = 8.
10. Площадь параллелограмма также можно найти как сумму площадей ▵ABL и четырехугольника BCDL.
11. Альтернативный способ найти площадь ▵ABL: S_▵ABL = (1/2) * AB * BL * sin(∠ABL) = (1/2) * x * 8 * sin(30°).
12. sin(30°) = 1/2.
13. S_▵ABL = (1/2) * x * 8 * (1/2) = 2x.
14. Из ▵ABL, по теореме синусов: AL / sin(∠ABL) = BL / sin(∠BAL).
15. x / sin(30°) = 8 / sin(120°).
16. x / (1/2) = 8 / (√3 / 2).
17. 2x = 16 / √3.
18. x = 8 / √3.
19. AL = AB = 8 / √3.
20. AD = 3x = 3 * (8 / √3) = 24 / √3 = 8√3.
21. Найдем площадь S: S = AB * AD * sin(120°) = (8 / √3) * (8√3) * (√3 / 2) = 64 * (√3 / 2) = 32√3.
22. Найдем S²: S² = (32√3)² = 32² * (√3)² = 1024 * 3 = 3072.

Ответ: 3072