B11 Найдите произведение наибольшего целого решения на наименьшее целое решение совокупности неравенств

Решение:

Необходимо решить два неравенства и найти произведение наибольшего и наименьшего целых чисел, удовлетворяющих обоим неравенствам.

Неравенство 1:

$$ \frac{x^2 - 2x - 15}{(7-x)^2} < 0 $$

1. Найдем корни числителя: x² - 2x - 15 = 0. Дискриминант D = (-2)² - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64. x₁ = (2 + 8)/2 = 5, x₂ = (2 - 8)/2 = -3.
2. Знаменатель (7-x)² всегда неотрицателен. Чтобы дробь была отрицательной, знаменатель не должен быть равен нулю, и числитель должен быть отрицательным.
3. Знаменатель равен нулю при x = 7.
4. Итак, нам нужно, чтобы x² - 2x - 15 < 0 и x ≠ 7.
5. Интервал, где x² - 2x - 15 < 0: (-3, 5).
6. Учитывая x ≠ 7, интервал остается (-3, 5).

Неравенство 2:

$$ \frac{x^2 - 2x - 15}{x^2 + 4x - 12} \leq 0 $$

1. Найдем корни числителя: x² - 2x - 15 = 0 => x = 5, x = -3.
2. Найдем корни знаменателя: x² + 4x - 12 = 0. Дискриминант D = 4² - 4(1)(-12) = 16 + 48 = 64. x₃ = (-4 + 8)/2 = 2, x₄ = (-4 - 8)/2 = -6.
3. Знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому x ≠ 2 и x ≠ -6.
4. Метод интервалов для неравенства:
   • Числитель: (x + 3)(x - 5)
   • Знаменатель: (x + 6)(x - 2)
   • Дробь: [(x + 3)(x - 5)] / [(x + 6)(x - 2)] ≤ 0
5. Расставим корни на числовой оси: -6, -3, 2, 5.
6. Определим знаки интервалов:
   • x < -6: + / + = +
   • -6 < x < -3: + / - = -
   • -3 < x < 2: - / - = +
   • 2 < x < 5: - / + = -
   • x > 5: + / + = +
7. Решение неравенства ≤ 0: (-6, -3] ∪ (2, 5].

Объединим решения обоих неравенств:

• Первое неравенство: x ∈ (-3, 5).
• Второе неравенство: x ∈ (-6, -3] ∪ (2, 5].
• Общее решение (пересечение): x ∈ (2, 5].

Найдем целые решения в интервале (2, 5]:

• Наибольшее целое решение: 5.
• Наименьшее целое решение: 3.

Найдем произведение наибольшего и наименьшего целых решений:

• Произведение = 5 * 3 = 15.

Ответ: 15