B5 В прямоугольном треугольнике проекции катетов на гипотенузу равны 3 и 4. Найдите квадрат площади этого треугольника.

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC.
• Катеты a, b. Гипотенуза c.
• Проекции катетов на гипотенузу: p = 3, q = 4.

Найти:

• Квадрат площади треугольника (S²).

Решение:

1. Найдем гипотенузу: По свойству прямоугольного треугольника, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b². Также, квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу: a² = c * p и b² = c * q.
2. Суммируем проекции: c = p + q = 3 + 4 = 7.
3. Найдем площадь треугольника (S): S = (1/2) * a * b.
4. Используем формулу для площади через катеты и гипотенузу: a² + b² = c².
5. Известно, что a² = c * p и b² = c * q.
6. Следовательно, S² = (1/2 * a * b)² = 1/4 * a² * b².
7. Подставим значения: S² = 1/4 * (c * p) * (c * q) = 1/4 * c² * p * q.
8. Вычислим: S² = 1/4 * 7² * 3 * 4 = 1/4 * 49 * 12 = 49 * 3 = 147.

Ответ: 147