B15. В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, угол B равен 40°. Отрезки AK и CN — биссектрисы углов A и C соответственно. Они пересекаются в точке M. Найдите величину угла AMC.

Решение:

1. Найдем углы при основании треугольника ABC:

Треугольник ABC равнобедренный, так как AB = BC. Углы при основании равны: \( \angle BAC = \angle BCA \).

Сумма углов треугольника: \( \angle BAC + \angle BCA + \angle ABC = 180° \).

\( 2 \cdot\angle BAC \cdot + 40° = 180° \)

\( 2 \cdot\angle BAC \cdot = 140° \)

\( \angle BAC = \angle BCA = 70° \).

2. Найдем углы треугольника ABK:

AK — биссектриса \( \angle BAC \), значит, \( \angle BAK = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{70°}{2} = 35° \).

3. Найдем углы треугольника BMC:

CN — биссектриса \( \angle BCA \), значит, \( \angle BCN = \frac{\angle BCA}{2} = \frac{70°}{2} = 35° \).

В треугольнике BMC:

\( \angle MBC = \angle ABC = 40° \)

\( \angle MCB = \angle BCN = 35° \)

Сумма углов треугольника BMC: \( \angle BMC + \angle MBC + \angle MCB = 180° \)

\( \angle BMC + 40° + 35° = 180° \)

\( \angle BMC + 75° = 180° \)

\( \angle BMC = 105° \).

4. Найдем угол AMC:

Углы AMC и BMC — смежные, их сумма равна 180°.

\( \angle AMC + \angle BMC = 180° \)

\( \angle AMC + 105° = 180° \)

\( \angle AMC = 180° - 105° = 75° \).

Ответ: 75°