B) \(\frac{10^8 \cdot 6^7 - 10^8 \cdot 6^6}{216^3 - 36^4}\)

Решение:

1. Числитель:
• Вынесем общий множитель \(10^8 \cdot 6^6\): \(10^8 \cdot 6^6 \cdot (6^1 - 1) = 10^8 \cdot 6^6 \cdot 5\)
2. Знаменатель:
• Представим числа как степени шестерки: \(216 = 6^3\), \(36 = 6^2\)
• Подставим: \((6^3)^3 - (6^2)^4\)
• Применим свойство степени \((a^m)^n = a^{mn}\): \(6^{3 \cdot 3} - 6^{2 \cdot 4} = 6^9 - 6^8\)
• Вынесем общий множитель \(6^8\): \(6^8 \cdot (6^1 - 1) = 6^8 \cdot 5\)
3. Дробь:
• Подставим числитель и знаменатель: \(\frac{10^8 \cdot 6^6 \cdot 5}{6^8 \cdot 5}\)
• Сократим 5: \(\frac{10^8 \cdot 6^6}{6^8}\)
• Применим свойство степени \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \(10^8 \cdot 6^{6-8} = 10^8 \cdot 6^{-2}\)
• Представим отрицательную степень как дробь: \(10^8 \cdot \frac{1}{6^2} = \frac{10^8}{36}\)
• Разложим 10 как \(2 · 5\) и 36 как \(2^2 · 3^2\): \(\frac{(2 · 5)^8}{2^2 \cdot 3^2} = \frac{2^8 \cdot 5^8}{2^2 \cdot 3^2}\)
• Упростим: \(\frac{2^{8-2} \cdot 5^8}{3^2} = \frac{2^6 \cdot 5^8}{9}\)
• Вычислим: \(\frac{64 \cdot 390625}{9} = \frac{25000000}{9}\)

Ответ: 25000000{9}