6) \(\frac{(3 \cdot 2^{20} + 7 \cdot 2^{19}) \cdot 52}{(13 \cdot 8^4)^2}\)

Решение:

1. Числитель:
• Вынесем общий множитель \(2^{19}\) из скобки: \((3 \cdot 2 \cdot 2^{19} + 7 \cdot 2^{19}) = (6 \cdot 2^{19} + 7 \cdot 2^{19}) = 2^{19} \cdot (6 + 7) = 2^{19} \cdot 13\)
• Умножим на 52: \(13 \cdot 2^{19} \cdot 52\)
2. Знаменатель:
• Представим 8 как степень двойки: \(8 = 2^3\)
• Подставим: \((13 \cdot (2^3)^4)^2 = (13 \cdot 2^{12})^2\)
• Применим свойство степени \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\): \(13^2 \cdot (2^{12})^2\)
• Применим свойство степени \((a^m)^n = a^{mn}\): \(13^2 \cdot 2^{24}\)
3. Дробь:
• Подставим числитель и знаменатель: \(\frac{13 \cdot 2^{19} \cdot 52}{13^2 \cdot 2^{24}}\)
• Сократим 13: \(\frac{2^{19} \cdot 52}{13 \cdot 2^{24}}\)
• Разделим 52 на 13: \(\frac{2^{19} \cdot 4}{2^{24}}\)
• Представим 4 как степень двойки: \(\frac{2^{19} \cdot 2^2}{2^{24}} = \frac{2^{19+2}}{2^{24}} = \frac{2^{21}}{2^{24}}\)
• Применим свойство степени \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \(2^{21-24} = 2^{-3}\)
• Представим отрицательную степень как дробь: \(\frac{1}{2^3}\)
• Вычислим: \(\frac{1}{8}\)

Ответ: 1{8}