111. a) \(\frac{25^3 \cdot 14^2}{49 \cdot 10^6}\)

Решение:

1. Разложим числа на простые множители: \(25 = 5^2\), \(14 = 2 \cdot 7\), \(49 = 7^2\), \(10 = 2 \cdot 5\)
2. Подставим в исходное выражение: \(\frac{(5^2)^3 \cdot (2 \cdot 7)^2}{7^2 \cdot (2 \cdot 5)^6}\)
3. Применим свойства степеней \((a^m)^n = a^{mn}\) и \((a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n\): \(\frac{5^{2 · 3} \cdot 2^2 \cdot 7^2}{7^2 \cdot 2^6 \cdot 5^6}\)
4. Упростим: \(\frac{5^6 \cdot 2^2 \cdot 7^2}{7^2 \cdot 2^6 \cdot 5^6}\)
5. Сократим одинаковые множители: \(\frac{2^2}{2^6}\)
6. Применим свойство степени \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\): \(2^{2-6} = 2^{-4}\)
7. Представим отрицательную степень как дробь: \(\frac{1}{2^4}\)
8. Вычислим: \(\frac{1}{16}\)

Ответ: 1{16}