АВ и CD — диаметры одной окружности с центром в точке О. Сумма углов ОСВ и ОВС равна 114°. Найдите угол ADC.

Решение:

В треугольнике BOC углы \( ∠OCB \) и \( ∠OBC \) равны, так как OC и OB — радиусы одной окружности, значит, \( △BOC \) — равнобедренный. Следовательно, \( ∠OCB = ∠OBC \).

Дано: \( ∠OCB + ∠OBC = 114° \).

Так как \( ∠OCB = ∠OBC \), то \( 2 · ∠OBC = 114° \), откуда \( ∠OBC = 114° / 2 = 57° \).

Сумма углов в треугольнике BOC равна 180°, поэтому \( ∠BOC = 180° - (∠OCB + ∠OBC) = 180° - 114° = 66° \).

Угол \( ∠ADC \) является центральным углом, опирающимся на дугу AC. Угол \( ∠BOC \) — развёрнутый, смежный с \( ∠AOC \), но \( ∠BOC \) — центральный угол, опирающийся на дугу BC.

Угол \( ∠AOC \) является смежным с \( ∠BOC \) и они вместе образуют развёрнутый угол, если AC и BC лежат на одной прямой, но это не так.

\( ∠AOC \) и \( ∠BOD \) — вертикальные углы. \( ∠BOC \) и \( ∠AOD \) — вертикальные углы.

Так как \( ∠BOC = 66° \), то \( ∠AOD = 66° \) (как вертикальные углы).

Угол \( ∠ADC \) — это угол, который нам нужно найти. Угол \( ∠AOD \) является частью угла \( ∠ADC \).

В треугольнике AOD, OA = OD (радиусы), значит \( △AOD \) — равнобедренный. Угол \( ∠AOD = 66° \).

\( ∠OAD = ∠ODA = (180° - 66°) / 2 = 114° / 2 = 57° \).

Угол \( ∠ADC = ∠ODA = 57° \).

Ответ: 57°.