16 A S\triangle ABC = 50 45° D x C B

Пусть CD = x.

Рассмотрим треугольник ADC. В этом треугольнике угол ADC = 90° и угол DAC = 45°, следовательно, угол DCA тоже равен 45°, и треугольник ADC - равнобедренный. Следовательно, AD = CD = x.

Рассмотрим треугольник ABC. Площадь треугольника можно выразить как:

• $$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = 50$$.

Выразим AC и BC через x.

$$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{x^2 + x^2} = x \cdot \sqrt{2}$$.

$$BC = BD + CD$$.

Рассмотрим треугольник ABD. В этом треугольнике угол ADB = 90°. Тогда:

• $$tg(45°) = \frac{AD}{BD} = 1$$.
• $$AD = BD = x$$.
• $$BC = BD + CD = x + x = 2x$$.

Тогда:

• $$\frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot x \cdot \sqrt{2} \cdot 2x = 50$$.
• $$x^2 \cdot \sqrt{2} = 50$$.
• $$x^2 = \frac{50}{\sqrt{2}} = \frac{50 \cdot \sqrt{2}}{2} = 25 \cdot \sqrt{2}$$.
• $$x = \sqrt{25 \cdot \sqrt{2}} = 5 \cdot \sqrt[4]{2}$$.

Ответ: $$5 \cdot \sqrt[4]{2}$$