ABCD – прямоугольник SABCD – ? cos ∠ACB - ?

В прямоугольнике ABCD известна диагональ AC = 9 и угол BAC = 30°. Нужно найти площадь прямоугольника и косинус угла ACB. В прямоугольном треугольнике ABC: $$\sin{A} = \frac{BC}{AC}$$, $$\\\sin{30^\circ} = \frac{BC}{9}$$, $$BC = 9 \cdot \sin{30^\circ} = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4.5$$. $$\cos{A} = \frac{AB}{AC}$$, $$\cos{30^\circ} = \frac{AB}{9}$$, $$AB = 9 \cdot \cos{30^\circ} = 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{2}$$. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: $$S_{ABCD} = AB \cdot BC = 4.5 \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2} = \frac{9}{2} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{2} = \frac{81\sqrt{3}}{4}$$. Угол ACB равен 90° - 30° = 60° (так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°). $$\cos{ACB} = \cos{60^\circ} = \frac{1}{2}$$

Ответ: $$S_{ABCD} = \frac{81\sqrt{3}}{4}$$, $$\cos{\angle ACB} = \frac{1}{2}$$