А8 Решите уравнение \( \frac{3}{x-19} = \frac{19}{x-3} \)

Решение:

1. Перенесём все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить \( 0 \) справа: \( \frac{3}{x-19} - \frac{19}{x-3} = 0 \).
2. Приведём дроби к общему знаменателю \( (x-19)(x-3) \): \( \frac{3(x-3) - 19(x-19)}{(x-19)(x-3)} = 0 \).
3. Раскроем скобки в числителе: \( 3x - 9 - 19x + 361 = 0 \).
4. Приведём подобные члены в числителе: \( -16x + 352 = 0 \).
5. Решим полученное линейное уравнение: \( -16x = -352 \)
6. \( x = \frac{-352}{-16} \)
7. \( x = 22 \).
8. Проверим, не обращается ли знаменатель в ноль при \( x=22 \):
   \( x-19 = 22-19 = 3 \neq 0 \)
   \( x-3 = 22-3 = 19 \neq 0 \).
9. Знаменатель не равен нулю, следовательно, \( x=22 \) — корень уравнения.

Ответ: 22.