А7 Упростите выражение \( \frac{4ab}{ab^2 - 2b} \) и найдите его значение при \( a = \sqrt{5} - 1 \), \( b = \sqrt{5} + 1 \). В ответ запишите полученное число.

Решение:

1. Упростим данное выражение. Вынесем общий множитель \( b \) из знаменателя: \( \frac{4ab}{b(ab - 2)} \).
2. Сократим на \( b \) (предполагая, что \( b \neq 0 \)): \( \frac{4a}{ab - 2} \).
3. Теперь подставим значения \( a = \sqrt{5} - 1 \) и \( b = \sqrt{5} + 1 \) в упрощённое выражение.
4. Сначала найдём значение \( ab \):
   \( ab = (\sqrt{5} - 1)(\sqrt{5} + 1) \). Это разность квадратов: \( ab = (\sqrt{5})^2 - 1^2 = 5 - 1 = 4 \).
5. Теперь подставим \( a = \sqrt{5} - 1 \) и \( ab = 4 \) в выражение \( \frac{4a}{ab - 2} \):
   \( \frac{4(\sqrt{5} - 1)}{4 - 2} = \frac{4(\sqrt{5} - 1)}{2} \)
6. Сократим дробь: \( 2(\sqrt{5} - 1) = 2\sqrt{5} - 2 \).

Ответ: \( 2\sqrt{5} - 2 \).