А2. Сократите дробь \(\frac{a^2 - 4}{16 - a^2}\)

Решение:

Разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) и \( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \):

Числитель: \( a^2 - 4 = a^2 - 2^2 = (a - 2)(a + 2) \)

Знаменатель: \( 16 - a^2 = 4^2 - a^2 = (4 - a)(4 + a) \)

Теперь подставим разложенные выражения в дробь:

\(\frac{(a - 2)(a + 2)}{(4 - a)(4 + a)}\)

Если \( a \neq 4 \) и \( a \neq -4 \), то \( a+2 \) и \( 4+a \) — это разные выражения, и дробь не сокращается. Однако, если рассмотреть вариант \( \frac{a^2-4}{a^2-16} \), то можно сократить. В данном варианте, без дополнительных условий или исправлений, сокращение невозможно. Предполагая, что в знаменателе может быть \( a^2 - 16 \):

\(\frac{a^2 - 4}{a^2 - 16} = \frac{(a-2)(a+2)}{(a-4)(a+4)}\). Без изменений.

Если в задании предполагалась ошибка и было \( \frac{a^2-4}{16-a} \) или \( \frac{a^2-4}{16-a^2} \) где \( a^2 \) не возведено в степень, но подразумевается.

Примем, что правильный ответ не предполагает сокращение. Рассмотрим варианты ответов:

A) \( a-4 \) — неверно

Б) \(\frac{1}{4-a}\) — неверно

B) \(\frac{1}{a-4}\) — неверно

Г) \( 4-a \) — неверно

Если предположить, что в задании была опечатка и должно быть \(\frac{a-2}{4-a}\), то есть \( a^2-4 \) сокращается с \( 4-a^2 \) с учетом знака.

\(\frac{a^2 - 4}{16 - a^2}\) — если \( a=2 \), то \( 0 \). Если \( a=3 \), \(\frac{5}{-7}\)

Без дальнейших уточнений или исправлений, дробь \(\frac{a^2 - 4}{16 - a^2}\) не сокращается.

Ответ: Дробь не сокращается.