А11. Основания трапеции равны 10 и 16. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Решение:

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме: \( m = \frac{a+b}{2} \), где \( a \) и \( b \) — основания.

В данном случае, \( a = 10 \) и \( b = 16 \).

Средняя линия \( m = \frac{10 + 16}{2} = \frac{26}{2} = 13 \).

Диагональ трапеции, пересекая среднюю линию, делит её на два отрезка. Каждый из этих отрезков параллелен основаниям и равен полуразности оснований. Длина этих отрезков равна \( \frac{|b-a|}{2} \).

\( \frac{|16 - 10|}{2} = \frac{6}{2} = 3 \).

Однако, диагональ не делит среднюю линию на два отрезка, равных полуразности оснований. Диагональ делит среднюю линию на отрезки, длины которых относятся к основаниям. Средняя линия трапеции, как отрезок, соединяющий середины боковых сторон, делится диагональю на два отрезка. Длины этих отрезков равны \( \frac{a}{2} \) и \( \frac{b}{2} \) или, что то же самое, \( m - \frac{b-a}{2} \) и \( \frac{b-a}{2} \).

Один отрезок средней линии равен половине меньшего основания, а другой — половине большего основания, если смотреть с точки зрения как диагональ делит трапецию.

Правильное утверждение: диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка, длины которых равны полусуммам оснований, и полуразности оснований.

Длина средней линии \( m = 13 \).

Диагональ делит среднюю линию на два отрезка. Длина одного отрезка равна полусумме основания, к которому он ближе, и средней линии, делённой пополам.

Правильное свойство: Диагональ трапеции делит среднюю линию на два отрезка, длины которых равны \( \frac{a}{2} \) и \( \frac{b}{2} \).

\( \frac{10}{2} = 5 \)

\( \frac{16}{2} = 8 \)

Сумма этих отрезков равна средней линии: \( 5 + 8 = 13 \).

Больший из этих отрезков равен 8 см.

Ответ: 8 см.