153. a) \(\frac{x^2-6x+4}{x-1} > 0\);

Решим неравенство \(\frac{x^2-6x+4}{x-1} > 0\). 1. Найдем корни числителя, решив уравнение \(x^2-6x+4 = 0\): - \(D = (-6)^2 - 4(1)(4) = 36 - 16 = 20\) - \(x_1 = \frac{6 + \sqrt{20}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{5}}{2} = 3 + \sqrt{5}\) - \(x_2 = \frac{6 - \sqrt{20}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{5}}{2} = 3 - \sqrt{5}\) 2. Найдем нули знаменателя: \(x - 1 = 0\), следовательно, \(x = 1\). 3. Расположим корни на числовой прямой. Учитывая, что \(\sqrt{5} \approx 2.24\), получим: - \(3 - \sqrt{5} \approx 3 - 2.24 = 0.76\) - \(3 + \sqrt{5} \approx 3 + 2.24 = 5.24\) 4. Интервалы: - \((-\infty; 3 - \sqrt{5})\) - \((3 - \sqrt{5}; 1)\) - \((1; 3 + \sqrt{5})\) - \((3 + \sqrt{5}; +\infty)\) 5. Определим знаки на интервалах: - При \(x < 3 - \sqrt{5}\), например, \(x = 0\): \(\frac{0^2 - 6(0) + 4}{0 - 1} = \frac{4}{-1} = -4 < 0\) - При \(3 - \sqrt{5} < x < 1\), например, \(x = 0.8\): \(\frac{(0.8)^2 - 6(0.8) + 4}{0.8 - 1} = \frac{0.64 - 4.8 + 4}{-0.2} = \frac{-0.16}{-0.2} = 0.8 > 0\) - При \(1 < x < 3 + \sqrt{5}\), например, \(x = 2\): \(\frac{2^2 - 6(2) + 4}{2 - 1} = \frac{4 - 12 + 4}{1} = -4 < 0\) - При \(x > 3 + \sqrt{5}\), например, \(x = 6\): \(\frac{6^2 - 6(6) + 4}{6 - 1} = \frac{36 - 36 + 4}{5} = \frac{4}{5} > 0\) 6. Решение неравенства: \(x \in (3 - \sqrt{5}; 1) \cup (3 + \sqrt{5}; +\infty)\). Ответ: \(x \in (3 - \sqrt{5}; 1) \cup (3 + \sqrt{5}; +\infty)\)