9. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 7, а угол между боковой гранью и основанием равен 45°. Найдите объем пирамиды.

Сторона основания $$a=7$$. Радиус описанной окружности $$R=a=7$$. Угол между боковой гранью и основанием равен 45° (это угол апофемы с основанием).

В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды ($$h$$), апофемой ($$h_a$$) и половиной стороны основания ($$a/2$$), угол при основании равен 45°. Следовательно, $$h = a/2 = 7/2 = 3.5$$.

Площадь основания: $$S_{осн} = \frac{3\text{sqrt}(3)}{2} a^2 = \frac{3\text{sqrt}(3)}{2} \times 7^2 = \frac{3\text{sqrt}(3)}{2} \times 49 = \frac{147\text{sqrt}(3)}{2}$$.

Объем пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \times S_{осн} \times h = \frac{1}{3} \times \frac{147\text{sqrt}(3)}{2} \times 3.5 = \frac{1}{3} \times \frac{147\text{sqrt}(3)}{2} \times \frac{7}{2} = \frac{147 \times 7 \times \text{sqrt}(3)}{12} = \frac{49 \times 7 \times \text{sqrt}(3)}{4} = \frac{343\text{sqrt}(3)}{4}$$.