7. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 6, боковое ребро равно 12. Найдите объём пирамиды.

Площадь правильного шестиугольника: $$S_{осн} = \frac{3\text{sqrt}(3)}{2} a^2 = \frac{3\text{sqrt}(3)}{2} \times 6^2 = \frac{3\text{sqrt}(3)}{2} \times 36 = 54\text{sqrt}(3)$$.

Найдем высоту пирамиды ($$h$$). Радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен стороне основания, $$R=a=6$$. По теореме Пифагора: $$h^2 + R^2 = l^2 \rightarrow h^2 + 6^2 = 12^2 \rightarrow h^2 + 36 = 144 \rightarrow h^2 = 108 \rightarrow h = \text{sqrt}(108) = 6\text{sqrt}(3)$$.

Объем пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \times S_{осн} \times h = \frac{1}{3} \times 54\text{sqrt}(3) \times 6\text{sqrt}(3) = 18\text{sqrt}(3) \times 6\text{sqrt}(3) = 108 \times 3 = 324$$.