6. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, объем равен 432. Найдите боковое ребро этой пирамиды.

Объем пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \times S_{осн} \times h$$.

$$432 = \frac{1}{3} \times S_{осн} \times 6 \rightarrow 432 = 2 \times S_{осн} \rightarrow S_{осн} = 216$$.

Так как основание - квадрат, то сторона основания $$a = \text{sqrt}(216) = 6\text{sqrt}(6)$$.

Найдем боковое ребро ($$l$$) по теореме Пифагора: $$l^2 = h^2 + R^2$$, где $$R$$ - радиус описанной окружности основания. Диагональ основания $$d = a\times\text{sqrt}(2) = 6\text{sqrt}(6) \times \text{sqrt}(2) = 6\text{sqrt}(12) = 12\text{sqrt}(3)$$. $$R = d/2 = 6\text{sqrt}(3)$$.

$$l^2 = 6^2 + (6\text{sqrt}(3))^2 = 36 + 36 \times 3 = 36 + 108 = 144 \rightarrow l = 12$$.