9. Решить уравнение, разложив на множители его левую часть. \(\sin^2 (\pi - x) + \cos (\frac{\pi}{2} + x) = 0\)

Решение:

Используем формулы приведения:

• \[ \sin(\pi - x) = \sin x \implies \sin^2(\pi - x) = \sin^2 x \]
• \[ \cos(\frac{\pi}{2} + x) = -\sin x \]

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

• \[ \sin^2 x - \sin x = 0 \]

Разложим левую часть на множители, вынеся \(\sin x\) за скобки:

• \[ \sin x (\sin x - 1) = 0 \]

Это уравнение распадается на два простых уравнения:

1. \[ \sin x = 0 \]
2. \[ \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = 1 \]

Решения для первого уравнения:

• \[ x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Решения для второго уравнения:

• \[ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Финальный ответ:

Ответ: \( x = \pi n, \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \)