16. Решить однородное уравнение первой степени. \(3 \sin x - 5 \cos x = 0\)

Решение:

Это однородное уравнение первой степени. Разделим обе части уравнения на \(\cos x\) (при условии, что \(\cos x
eq 0\)). Если \(\cos x = 0\), то \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), и тогда \(\sin x = \pm 1\). Подставив это в исходное уравнение, получим \(3(\pm 1) - 5(0) = \pm 3
eq 0\). Значит, \(\cos x
eq 0\).

• \[ \frac{3 \sin x}{\cos x} - \frac{5 \cos x}{\cos x} = 0 \]
• \[ 3 \text{tg} x - 5 = 0 \]

Теперь решим уравнение относительно \(\text{tg} x\):

• \[ 3 \text{tg} x = 5 \]
• \[ \text{tg} x = \frac{5}{3} \]

Найдем значение \(x\):

• \[ x = \text{arctg}\left(\frac{5}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Финальный ответ:

Ответ: \( x = \text{arctg}\left(\frac{5}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)