2. Привести уравнение к квадратному относительно одной из тригометрических функций и найти его корни. \(4 \sin^2 x = 3\)

Решение:

Разделим обе части уравнения на 4:

• \[ \sin^2 x = \frac{3}{4} \]

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

• \[ \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Это приводит к двум случаям:

1. \[ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
2. \[ \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Решения для первого случая:

• \[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad ext{и} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Решения для второго случая:

• \[ x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \quad ext{и} \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Объединяя все решения, можно записать:

• \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi m, \quad m \in \mathbb{Z} \]
• \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + \pi p, \quad p \in \mathbb{Z} \]

Или, более компактно:

• \[ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Финальный ответ:

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad x = \pm \frac{2\pi}{3} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z} \)