15. Решить однородное уравнение первой степени. \(4 \sin x + \cos x = 0\)

Решение:

Это однородное уравнение первой степени. Разделим обе части уравнения на \(\cos x\) (при условии, что \(\cos x
eq 0\)). Если \(\cos x = 0\), то \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), и тогда \(\sin x = \pm 1\). Подставив это в исходное уравнение, получим \(4(\pm 1) + 0 = \pm 4
eq 0\). Значит, \(\cos x
eq 0\).

• \[ \frac{4 \sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} = 0 \]
• \[ 4 \text{tg} x + 1 = 0 \]

Теперь решим уравнение относительно \(\text{tg} x\):

• \[ 4 \text{tg} x = -1 \]
• \[ \text{tg} x = -\frac{1}{4} \]

Найдем значение \(x\):

• \[ x = \text{arctg}\left(-\frac{1}{4}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Также можно записать как:

• \[ x = -\text{arctg}\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Финальный ответ:

Ответ: \( x = -\text{arctg}\left(\frac{1}{4}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)